Γιος δικηγόρου από τη Μάνη, ο Αλέκος Αλεξανδράκης γεννήθηκε στις 27 Νοεμβρίου 1928 στην Αθήνα. Φοίτησε στα καλύτερα σχολεία της εποχής και μεγάλωσε σε ένα σπίτι γεμάτο βιβλία. Αγαπημένο του άθλημα ήταν η ξιφασκία και στα 15 του έγινε μέλος της εθνικής ομάδας.
Ένα χρόνο αργότερα μπήκε στη Σχολή Δοκίμων, θέλοντας να γίνει αξιωματικός του Ναυτικού. Μία παράσταση, όμως, του Κάρολου Κουν, με πρωταγωνίστρια την Έλλη Λαμπέτη, του άλλαξε τη ζωή. Αποφάσισε να δώσει εξετάσεις στο Βασιλικό Θέατρο και πέρασε πρώτος. Ο Δημήτρης Χορν ήταν τόσο σίγουρος για το ταλέντο του Αλέκου, που είχε στοιχηματίσει για την επιτυχία του.
Τον καιρό εκείνο, η Κατερίνα (Ανδρεάδη) έψαχνε για έναν «ζεν πρεμιέ», για το έργο «Φθινοπωρινή Παλίρροια». Ο νεαρός ηθοποιός την επισκέφτηκε με λουλούδια στο σπίτι της μαζί με την Άννα Συνοδινού και πήρε το ρόλο. Έκανε τα πρώτα του βήματα στο θεατρικό σανίδι στις 9 Ιουλίου 1949 και άφησε τις καλύτερες εντυπώσεις σε κριτικούς και κοινό. «Παρουσιάστε όπλα. Επιτέλους, ένας εραστής στο ελληνικό θέατρο», έγραψε χαρακτηριστικά ο Αιμίλιος Χουρμούζιος στην Καθημερινή.
Εντύπωση έκανε και στον Φιλοποίμηνα Φίνο, ο οποίος του πρότεινε να παίξει στον κινηματογράφο. Την ίδια, κιόλας, χρονιά έκανε το ντεμπούτο του στη μεγάλη οθόνη, με την ταινία «Δύο κόσμοι», σε σκηνοθεσία Γρηγόρη Γρηγορίου. Ακολούθησαν αμέτρητες άλλες, και όλοι συμφωνούσαν πως επρόκειτο για έναν μεγάλο ηθοποιό και τον μεγαλύτερο γόη της εποχής. Η απήχησή του στον γυναικείο πληθυσμό ήταν άνευ προηγουμένου.
Στη γοητεία του είχε υποκύψει πρώτη η Έλλη Λαμπέτη. Ο δεσμός τους, όμως, δεν κράτησε πολύ, καθώς ο Αλεξανδράκης προτίμησε να ακολουθήσει την Κατερίνα σε μία περιοδεία. Στο Σουδάν γνώρισε την πρώτη του γυναίκα, Μαρτζ Βάλβη, με την οποία παντρεύτηκε λίγο αργότερα στην Αθήνα. Ο γάμος τους κράτησε τρία χρόνια, όσο κι αυτός με την Κλοντ Σαμπαντού, μια πανέμορφη Γαλλίδα.
Το 1956, παντρεύτηκε την ηθοποιό Αλίκη Γεωργούλη. Μαζί ανέβασαν στο θέατρο «Γκλόρια» της Πλατείας Αμερικής, το «Πικνίκ», ενώ συμμετείχαν σε πορείες ειρήνης και δημοκρατικά συλλαλητήρια. Όμως, ύστερα από τέσσερα χρόνια χώρισαν. Ο τέταρτος γάμος του ήταν με την ελβετίδα Βερένα Γκάουερ. Στα πέντε χρόνια που κράτησε ο γάμος τους απέκτησαν δύο παιδιά. Το 1969 γνώρισε τη Νόνικα Γαληνέα και την ερωτεύτηκε βαθιά. Παρότι αυτή η σχέση κράτησε 21 ολόκληρα χρόνια, δεν παντρεύτηκαν ποτέ.
Εκτός από την ιδιότητα του θιασάρχη, που ξεκίνησε το 1956 και κράτησε τουλάχιστον 35 χρόνια, ο Αλέκος Αλεξανδράκης σκηνοθέτησε θεατρικά έργα, αλλά και ταινίες, όπως ο «Θρίαμβος» (1960) με τον Καρύδη-Φουκς και η «Συνοικία το όνειρο» (1961), που βραβεύτηκε στο Φεστιβάλ Κινηματογράφου Θεσσαλονίκης, αλλά η προβολή της απαγορεύτηκε από τη λογοκρισία της εποχής.
Συνεργάστηκε με λαμπερές πρωταγωνίστριες, όπως τη Μελίνα Μερκούρη, την Αλίκη Βουγιουκλάκη, τη Τζένη Καρέζη, τη Μάρω Κοντού και τη Ζωή Λάσκαρη.
Συνολικά, πρωταγωνίστησε σε περισσότερες από 75 κινηματογραφικές ταινίες, από τις οποίες ξεχωρίζουν: «Ο βαφτιστικός», «Στέλλα», «Το νησί των γενναίων», «Ραντεβού στην Κέρκυρα», «Δεσποινίς Διευθυντής», «Δάκρυα για την Ηλέκτρα», «Όμορφες μέρες», «Η κόμισσα της Κέρκυρας», «Η Μαρία της σιωπής», «Ο άνθρωπος με το γαρύφαλλο», «Τα παιδιά της Χελιδόνας» και πολλές ακόμα.
Στο θέατρο ερμήνευσε τους σημαντικότερους ρόλους. Μεταξύ των παραστάσεων στις οποίες πρωταγωνίστησε και άφησαν εποχή, είναι: «Παράξενο Ιντερμέτζο», «Ταξίδι της μέρας μέσα στην νύχτα», «Ήταν όλοι τους παιδιά μου», «Μαντάμ Μπάτερφλαΐ», «Η γυναίκα με τα μαύρα», «Τέσσερα δωμάτια με κήπο», «Έγκλημα και τιμωρία», «Τα μεγάλα χρόνια», «Ο γλάρος».
Στην τηλεόραση έπαιξε στον «Παράξενο Ταξιδιώτη», τον «Γιούγκερμαν» και τους «Μυστικούς Αρραβώνες».
Το 1994 ανέβασε με τη Μιμή Ντενίση, τον «Θείο Βάνια» και δύο χρόνια αργότερα επέστρεψε στο Εθνικό, απ’ όπου είχε ξεκινήσει. Τα τελευταία χρόνια της ζωής του δίδασκε υποκριτική στο Εργαστήρι του Διαμαντόπουλου, ενώ το 2001 ο τότε Πρόεδρος της Δημοκρατίας, Κωνσταντίνος Στεφανόπουλος, του απένειμε τον Χρυσό Σταυρό του Τάγματος της Τιμής για την προσφορά του στην τέχνη.
Πέθανε στις 8 Νοεμβρίου του 2005, έπειτα από μακροχρόνια μάχη με τον καρκίνο.